Question

20．在锐角三角形ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c且$\sqrt{3}$（tanA-tanB）=1+tanA•tanB．
（1）求A-B的大小；
（2）已知$\frac{π}{6}$＜B＜$\frac{π}{3}$，向量$\overrightarrow{m}$=（sinA，cosA），$\overrightarrow{n}$=（cosB，sinB），求|3$\overrightarrow{m}$-2$\overrightarrow{n}$|的取值范围．

Answer 1

分析 （1）利用两角和差的正切公式进行化简求解即可．
（2）利用向量数量积的定义以及向量模长与向量数量积的关系进行转化，转化为三角函数进行求解即可．

解答 解：（1）∵$\sqrt{3}$（tanA-tanB）=1+tanA•tanB，又△ABC为锐角三角形
∴$\frac{tanA-tanB}{1+tanAtanB}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，即tan（A-B）=$\frac{tanA-tanB}{1+tanAtanB}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∵0＜A＜$\frac{π}{2}$，0＜B＜$\frac{π}{2}$，
∴-$\frac{π}{2}$＜A-B＜$\frac{π}{2}$，
则A-B=$\frac{π}{6}$．
（2）∵$\overrightarrow{m}$=（sinA，cosA），$\overrightarrow{n}$=（cosB，sinB），
∴|$\overrightarrow{m}$|=1，|$\overrightarrow{n}$|=1，$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{n}$=sinAcosB+cosAsinB=sin（A+B），
则|3$\overrightarrow{m}$-2$\overrightarrow{n}$|²=9|$\overrightarrow{m}$|²+4|$\overrightarrow{n}$|²-12$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{n}$=13-12sin（A+B）=13-12sin（2B+$\frac{π}{6}$），
∵$\frac{π}{6}$＜B＜$\frac{π}{3}$，∴$\frac{π}{2}$＜2B+$\frac{π}{6}$＜$\frac{5π}{6}$，
∴sin（2B+$\frac{π}{6}$）∈（$\frac{1}{2}$，1），12sin（2B+$\frac{π}{6}$）∈（6，12），13-12sin（2B+$\frac{π}{6}$）∈（1，7），
则|3$\overrightarrow{m}$-2$\overrightarrow{n}$|∈（1，$\sqrt{7}$）
∴|3$\overrightarrow{m}$-2$\overrightarrow{n}$|的取值范围是（1，$\sqrt{7}$）．

点评 本题主要考查两角和差的正切公式以及向量数量积与三角函数的综合，利用向量模长与向量数量积的关系转化为三角函数是解决本题的关键．