Question

10．函数f（x）=x+$\frac{a}{x}$（a＞0）的单调减区间为（-$\sqrt{a}$，0），（0，$\sqrt{a}$），若f（x）在[a-2，+∞）上是增函数，则a的取值范围为[4，+∞）．

Answer 1

分析 先求出函数的导数，解关于导函数的不等式，从而求出其递减区间．借助第一问列出不等式求解函数的增区间时的a的范围．

解答 解：函数f（x）=x+$\frac{a}{x}$，f′（x）=1-$\frac{a}{{x}^{2}}$=$\frac{{x}^{2}-a}{{x}^{2}}$，
令y′＜0，即x²-a＜0解得：-$\sqrt{a}$＜x＜$\sqrt{a}$，且x≠0，
函数f（x）=x+$\frac{a}{x}$（a＞0）的单调减区间为：（-$\sqrt{a}$，0），（0，$\sqrt{a}$）．
f（x）在[a-2，+∞）上是增函数，可得a-2$≥\sqrt{a}$，a＞0，解得a≥4．
故答案为：（-$\sqrt{a}$，0），（0，$\sqrt{a}$）；[4，+∞）

点评 本题考查了函数的单调性问题，导数的应用，考查转化思想以及计算能力，是一道基础题．