Question

已知数列{a_n}的首项为a₁=5，前n项和为S_n，且S_n+1=2S_n+n+5（n∈N⁺）．
（1）证明数列{a_n+1}是等比数列；
（2）令f（x）=a₁x+a₂x²+…a_nxⁿ，f′（x）是函数f（x）的导函数，令b_n=f（1），求数列{b_n}的通项公式；
（3）若b_n＜30成立，试求n的最大值．

Answer 1

考点：数列与函数的综合,数列的概念及简单表示法,等比关系的确定

专题：导数的概念及应用,等差数列与等比数列

分析：（1）由数列{a_n}的前n项和的定义公式，求出通项公式a_n+1与a_n的关系，由定义判断{a_n+1}是否为等比数列；
（2）由（1）得出{a_n}的通项公式，求出f（x）的导函数f′（x），计算b_n=f（1）的值，求出{b_n}的通项公式；
（3）判断{b_n}为递增数列，验证b_n＜30时n的最大值是什么．

解答： 解：（1）数列{a_n}中，∵S_n+1=2S_n+n+5，∴S_n=2S_n-1+n+4，…2分
∴S_n+1-S_n=2（S_n-S_n-1）+1，
即a_n+1+1=2（a_n+1），
当n=1时，a₂=2a₁+1=11，
∴a₂+1=12，a₁+1=6，
∴{a_n+1}是公比为2的等比数列；…4分
（2）由（1）得：a_n+1=（a₁+1）•2^n-1=6•2^n-1=3•2ⁿ，
∴an=3×2n-1，
又∵f(x)=a1x+a2x2+…+anxn，
∴f′(x)=a1+2a2x+…+nanxn-1，
∴f′(1)=a1+2a2+…+nan=(3×2-1)+2(3×22-1)+…+n(3×2n-1)
=3（2+2×2²+3×2³+…+n×2ⁿ）-（1+2+3+…+n）；
令S=2+2×2²+3×2³+…+n×2ⁿ，则2S=2²+2×2³+3×2⁴+…+n×2ⁿ⁺¹，
作差得S=（n-1）×2ⁿ⁺¹+2，
∴bn=f′(1)=3(n-1)×2n+1-

n(n+1)

2

+6；…8分
（3）∵当n∈N^*时，bn+1-bn=(n+1)(3×2n+1-1)＞0，
∴{b_n}为递增数列，…10分
又∵b₁=5，b₂=27，b₃=96，
∴n的最大值为2．…12分．

点评：本题考查了等比数列的定义与求数列的通项公式以及前n项和的应用问题，也考查了导数的概念与应用问题，是综合性题目．