Question

14．我国齐梁时代的数学家祖暅（公元前5-6世纪，祖冲之之子）提出了一条原理：“幂势既同，则积不容异”，这个原理的意思是：两个等高的几何体若在所有等高处的水平截面的面积相等，则这两个几何体的体积相等．该原理在西方直到十七世纪才由意大利数学家卡瓦列利发现，比祖暅晚一千一百多年．椭球体是椭圆绕其轴旋转所成的旋转体，如图，将底面直径都为2b，高皆为a的椭半球体和已被挖去了圆锥体的圆柱体放置于同一平面β上，用平行于平面β且与平面β任意距离d处的平面截这两个几何体，可横截得到S_圆及S_环两截面，可以证明S_圆=S_环总成立．据此，短轴长为$2\sqrt{3}$，长轴为5的椭球体的体积是10π．

Answer 1

分析 由S_圆=S_环总成立，求出椭球的体积V=$\frac{4}{3}π{b}^{2}a$，由此能求出该椭球体的体积．

解答 解：∵S_圆=S_环总成立，
∴半椭球的体积为：$π{b}^{2}a-\frac{1}{3}π{b}^{3}a$=$\frac{2}{3}π{b}^{2}a$，
∴椭球的体积V=$\frac{4}{3}π{b}^{2}a$，
∵椭球体短轴长为$2\sqrt{3}$，长轴为5，
∴b=$\sqrt{3}$，a=$\frac{5}{2}$，
∴该椭球体的体积V=$\frac{4}{3}π×（\sqrt{3}）^{2}×（\frac{5}{2}）^{\;}$=10π．
故答案为：10π．

点评 本题考查圆锥、圆柱的体积以及新定义问题的求法，根据“幂势既同，则积不容异”这一结论求出椭圆球体积，是中档题．