Question

9．已知双曲线$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞0，b＞0）左右焦点分别为F₁，F₂，渐近线为l₁，l₂，P位于l₁在第一象限内的部分，若l₂⊥PF₁，l₂∥PF₂，则双曲线的离心率为（　　）

• A． 2
• B． $\sqrt{3}$
• C． $\sqrt{5}$
• D． $\sqrt{2}$

Answer 1

分析 分别求得双曲线的渐近线方程，设P点坐标，根据直线的斜率公式，求得直线PF₁的斜率及直线PF₂的斜率，根据直线平行及垂直的关系，即可求得a和b的关系，根据双曲线的离心率公式，即可求得双曲线的离心率．

解答 解：设双曲线渐近线为l₁的方程y=$\frac{b}{a}$x，渐近线为l₂方程y=-$\frac{b}{a}$x，
则设P点坐标（x，$\frac{b}{a}$x），
则直线PF₁的斜率k=$\frac{\frac{b}{a}x-0}{x+c}$=$\frac{bx}{a（x+c）}$，
直线PF₂的斜率k=$\frac{\frac{b}{a}x}{x-c}$=$\frac{bx}{a（x-c）}$，
由l₂⊥PF₁，则$\frac{bx}{a（x+c）}$×（-$\frac{b}{a}$）=-1，$\frac{{b}^{2}x}{{a}^{2}（x+c）}$=1，①
l₂∥PF₂，则$\frac{bx}{a（x-c）}$=-$\frac{b}{a}$，解得：x=$\frac{c}{2}$，②
由①②整理得：$\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}$=3，
由双曲线的离心率e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{1+\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}}$=2，
∴双曲线的离心率2，
故选A．

点评 本题考查双曲线的简单几何性质，直线的斜率公式，考查计算能力，属于中档题．