Question

4．如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB⊥侧面BB₁C₁C，E是CC₁上的中点，且BC=1，BB₁=2．
（Ⅰ）证明：B₁E⊥平面ABE
（Ⅱ）若三棱锥A-BEA₁的体积是$\frac{{\sqrt{3}}}{3}$，求异面直线AB和A₁C₁所成角的大小．

Answer 1

分析 （Ⅰ）连接BE，只需证明BE⊥B₁E，且AB⊥B₁E=B，即可得到B₁E⊥平面ABE；
（Ⅱ）由V${\;}_{A-BE{A}_{1}}$=V${\;}_{{A}_{1}-ABE}$=V${\;}_{{B}_{1}ABE}$=$\frac{1}{3}×{s}_{△ABE}×{B}_{1}E$=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×AB×BE×{B}_{1}E=\frac{\sqrt{3}}{3}$，得AB=$\sqrt{3}$，异面直线AB和A₁C₁所成角为∠CAB，即可求解．

解答 证明：（Ⅰ）连接BE，∵BC=1    BB₁=2，E是CC₁上的中点
△BCE，△B₁C₁E为等腰直角三角形，即$∠BEC=∠{B}_{1}E{C}_{1}=\frac{π}{4}$，∴$∠BE{B}_{1}=\frac{π}{2}$，即BE⊥B₁E
∵AB⊥面BB₁C₁C．B₁E?面ABC，∴B₁E⊥AB，且AB∩BE=B，
∴B₁E⊥平面ABE；
解：（Ⅱ）∵AB∥A₁B₁，∴A₁、B₁到面ABE的距离相等，
由（Ⅰ）得BE=B₁E=$\sqrt{2}$
故V${\;}_{A-BE{A}_{1}}$=V${\;}_{{A}_{1}-ABE}$=V${\;}_{{B}_{1}ABE}$
=$\frac{1}{3}×{s}_{△ABE}×{B}_{1}E$=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×AB×BE×{B}_{1}E=\frac{\sqrt{3}}{3}$
解得AB=$\sqrt{3}$
∵AC∥A₁C₁，∴异面直线AB和A₁C₁所成角为∠CAB，
在Rt△ABC中，tan$∠CAB=\frac{CB}{AB}=\frac{\sqrt{3}}{3}$，∴∠CAB=30°
∴异面直线AB和A₁C₁所成角的大小30°．

点评 本题考查了空间线面垂直的判定，考查了异面直线夹角的求法，属于中档题．