Question

4．在直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}x=2cosφ\\ y=2+2sinφ\end{array}\right.$（φ为参数），以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．
（Ⅰ）求圆C的普通方程；
（Ⅱ）直线l的极坐标方程是$2ρsin（{θ+\frac{π}{6}}）=5\sqrt{3}$，射线$OM：θ=\frac{π}{6}$与圆C的交点为O、P，与直线l的交点为Q，求线段PQ的长．

Answer 1

分析 （I）由圆C的参数方程$\left\{{\begin{array}{l}{x=2cosφ}\\{y=2+2sinφ}\end{array}}\right.$（φ为参数）知，利用平方关系可得圆C的普通方程．
（II）将x=ρcosθ，y=ρsinθ代入x²+（y-2）²=4．得圆C的极坐标方程为ρ=4sinθ．
设P（ρ₁，θ₁），代入$\left\{{\begin{array}{l}{ρ=4sinθ}\\{θ=\frac{π}{6}}\end{array}}\right.$，解得ρ₁，θ₁．设Q（ρ₂，θ₂），代入$\left\{{\begin{array}{l}{2ρsin（θ+\frac{π}{6}）=5\sqrt{3}}\\{θ=\frac{π}{6}}\end{array}}\right.$，解得ρ₂，θ₂．利用|PQ|=|ρ₁-ρ₂|即可得出．

解答 解：（I）由圆C的参数方程$\left\{{\begin{array}{l}{x=2cosφ}\\{y=2+2sinφ}\end{array}}\right.$（φ为参数）知，圆C的圆心为（0，2），
半径为2，圆C的普通方程为x²+（y-2）²=4．…（4分）
（II）将x=ρcosθ，y=ρsinθ代入x²+（y-2）²=4．
得圆C的极坐标方程为ρ=4sinθ．…（5分）
设P（ρ₁，θ₁），则由$\left\{{\begin{array}{l}{ρ=4sinθ}\\{θ=\frac{π}{6}}\end{array}}\right.$，解得${ρ_1}=2，{θ_1}=\frac{π}{6}$．…（7分）
设Q（ρ₂，θ₂），则由$\left\{{\begin{array}{l}{2ρsin（θ+\frac{π}{6}）=5\sqrt{3}}\\{θ=\frac{π}{6}}\end{array}}\right.$，解得ρ₂=5，θ₂=$\frac{π}{6}$．
所以|PQ|=|ρ₁-ρ₂|=3．…（10分）

点评 本题考查了直线的参数方程及其应用、极坐标方程化为直角坐标方程及其应用、弦长公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．