Question

17．已知数列{a_n}的前n项和S_n=3n²+8n，{b_n}是等差数列，且a_n=b_n+b_n+1．
（Ⅰ）求数列{a_n}，{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）令c_n=b_n•2ⁿ，求数列{c_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （Ⅰ）数列{a_n}的前n项和S_n=3n²+8n，可得a₁=11．当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1．可得a_n．{b_n}是等差数列，设公差为d，则a_n=b_n+b_n+1=2b_n+d．当n=1时，2b₁=11-d；当n=2时，2b₂=17-d即可得出b_n．
（II）c_n=b_n•2ⁿ=（3n+1）•2ⁿ．利用错位相减法即可得出．

解答 解：（Ⅰ）∵数列{a_n}的前n项和S_n=3n²+8n，
∴a₁=11．
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=3n²+8n-3（n-1）²-8（n-1）=6n+5．
又∵a_n=6n+5对n=1也成立所以a_n=6n+5，{b_n}是等差数列，设公差为d，则a_n=b_n+b_n+1=2b_n+d．
当n=1时，2b₁=11-d；当n=2时，2b₂=17-d
由$\left\{\begin{array}{l}{2{b}_{1}=11-d}\\{2{b}_{2}=17-d}\end{array}\right.$，
解得d=3，b₁=4．
所以数列{b_n}的通项公式为：b_n=4+3（n-1）=3n+1．
（II）c_n=b_n•2ⁿ=（3n+1）•2ⁿ．
于是，T_n=4×2+7×2²+10×2³+…+（3n+1）•2ⁿ，
两边同乘以2，得2T_n=4×2²+7×2³+…+（3n-2）•2ⁿ-（3n+1）•2ⁿ⁺¹．
两式相减，得-T_n=8+3（2²+2³+…+2ⁿ）-（3n+1）•2ⁿ⁺¹=8+3×$\frac{4（{2}^{n-1}-1）}{2-1}$-（3n+1）•2ⁿ⁺¹．
可得：T_n=4+（3n-2）•2ⁿ⁺¹．

点评 本题考查了等差数列与等比数列的通项公式与求和公式、错位相减法、数列递推关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．