Question

2．设数列{a_n}的前n项和是S_n，满足$n（{{S_{n+1}}+{S_{n-1}}-2{S_n}}）=2+{a_n}（{n≥2，n∈{N^*}}）$，a₁=1，a₂=2，则当n≥2时，S_n=n²-n+1．

Answer 1

分析 $n（{{S_{n+1}}+{S_{n-1}}-2{S_n}}）=2+{a_n}（{n≥2，n∈{N^*}}）$，a₁=1，a₂=2，可得n（a_n+1-a_n）=2+a_n，即na_n+1=2+（n+1）a_n，n≥2时可得：（n-1）a_n=2+na_n-1．相减可得：a_n+1+a_n-1=2a_n，n≥2时，数列{a_n}是等差数列．即可得出．

解答 解：∵n（S_n+1+S_n-1-2S_n）=2+a_n（n≥2，n∈N^*），a₁=1，a₂=2，
∴n（a_n+1-a_n）=2+a_n，即na_n+1=2+（n+1）a_n，
n≥2时可得：（n-1）a_n=2+na_n-1．
相减可得：a_n+1+a_n-1=2a_n，
∴n≥2时，数列{a_n}是等差数列．
又2（a₃-2）=2+2，解得a₃=4．
∴公差d=4-2=1．
∴n≥2时，S_n=1+2（n-1）+$\frac{（n-1）（n-2）}{2}$×2=n²-n+1．
故答案为：n²-n+1．
F（x）=f（x）-a

点评 本题考查了等差数列的通项公式与求和公式、数列递推关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．