Question

已知半径为2的定圆C外一定点A，且AC=4，在圆上任取一点P，以AP为一边逆时针作等边△APQ，当P在圆上运动时，建立适当的极坐标系，求点Q轨迹的极坐标方程，并转化为直角坐标方程．

Answer 1

考点：简单曲线的极坐标方程

专题：坐标系和参数方程

分析：如图所示，以点A为极点，AC为极轴建立极坐标系．设Q（ρ，θ），则|AP|=ρ，∠PAC=θ-60°．在△APC中，利用余弦定理可得：PC²=AP²+AC²-2AP•ACcos（θ-60°），化简即可得出点Q的极坐标方程，再利用

x=ρcosθ y=ρsinθ

即可得到直角坐标方程．

解答： 解：如图所示，以点A为极点，AC为极轴建立极坐标系．
设Q（ρ，θ），则|AP|=ρ，∠PAC=θ-60°．
在△APC中，利用余弦定理可得：PC²=AP²+AC²-2AP•ACcos（θ-60°），
∴2²=ρ²+4²-2×4ρcos（θ-60°），
化为ρ²-8ρcos（θ-60°）+12=0，即为点Q的极坐标方程．
展开为ρ²-8ρ(

1

2

cosθ+

3

2

sinθ)+12=0，
∴x2+y2-4x-4

3

y+12=0即为点Q的直角坐标方程．

点评：本题考查了极坐标方程化为直角坐标方程、余弦定理的应用，考查了计算能力，属于基础题．