Question

已知函数f（x）=

3

sinωx•cosωx-cos²ωx（ω＞0）最小正周期为

π

2

．
（Ⅰ）求ω的值及函数f（x）的解析式；
（Ⅱ）若△ABC的三条边a，b，c满足a²=bc，a边所对的角为A．求角A的取值范围及函数f（A）的值域．

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用,余弦定理

专题：三角函数的求值,三角函数的图像与性质,解三角形

分析：（I）化简解析式可得f（x）=sin（2ωx-

π

6

）-

1

2

．由

2π

2ω

=

π

2

，可得ω的值，从而可求函数f（x）的解析式；
（II）由余弦定理可得cosA=

b2+c2-a2

2bc

≥

1

2

，又0＜A≤

π

3

，可得-

π

6

＜4A-

π

6

≤

7π

6

，从而可求函数f（A）的值域．

解答： 解：（I）f（x）=

3

sinωx•cosωx-cos²ωx=

3

2

sin2ωx-

1

2

cos2ωx-

1

2

=sin（2ωx-

π

6

）-

1

2

．
由

2π

2ω

=

π

2

，得ω=2．…（3分）
函数f（x）=sin（4x-

π

6

）-

1

2

．…（5分）
（II）因为cosA=

b2+c2-a2

2bc

=

b2+c2-bc

2bc

≥

2bc-bc

2bc

=

1

2

． …（8分）
而A为三角形内角，所以0＜A≤

π

3

．…．（10分）
所以-

π

6

＜4A-

π

6

≤

7π

6

，-

1

2

≤sin（4x-

π

6

）≤1，
即-1≤f（A）≤

1

2

．…（12分）

点评：本题主要考察了三角函数中的恒等变换应用，三角函数的图象与性质，余弦定理的应用，属于基本知识的考查．