Question

已知点A（2，8），B（x，y），C（x，y）在抛物线y=2px上，△ABC的重心与此抛物线的焦点F重合（如图）。
（1）写出该抛物线的方程和焦点F的坐标；
（2）求线段BC中点M的坐标。

Answer 1

（1）抛物线方程为y=32x，焦点F的坐标为（8,0）。
（2）点M的坐标为（11，－4）。

（1）由点A（2，8）在抛物线y=2px上，有8＝2p·2，解得p=16。
所以抛物线方程为y=32x，焦点F的坐标为（8,0）。
（2）如原题上图，由于F（8,0）是△ABC的重心，M是BC的中点，所以F是线段AM的定比分点，且＝2。设点M的坐标为（x，y）,则＝8，＝0，
解得x=11，y=－4。所以点M的坐标为（11，－4）。