Question

已知函数f（x）=e^x+a•e^-x（a∈R）．
（1）若函数f（x）为奇函数，求a的值；
（2）当a＜0时，求函数f（x）在[-1，1]上的值域；
（3）当a=1时，若函数g（x）=f（x）+|x|，求满足不等式g（2x-1）＜g（3）的x的取值范围．

Answer 1

考点：函数的值域,函数奇偶性的性质

专题：函数的性质及应用

分析：（1）由已知得f（0）=e⁰+a•e⁰=0，由此能求出a=-1．
（2）由a＜0，f′（x）=e^x-a•e^-x，得f′（x）＞0，从而函数f（x）在[-1，1]上是增函数，由此能求出函数f（x）在[-1，1]上的值域．
（3）a=1时，函数g（x）=f（x）+|x|=e^x+e^-x+|x|是偶函数，且当x≥0时，g（x）=e^x+e^-x+x，函数f（x）在[0，+∞）上单调增加，由此能求出满足不等式g（2x-1）＜g（3）的x的取值范围．

解答： 解：（1）∵函数f（x）=e^x+a•e^-x（a∈R）为奇函数，
∴f（0）=e⁰+a•e⁰=0，
解得a=-1．
（2）∵a＜0，f′（x）=e^x-a•e^-x，
∴f′（x）＞0，
∴函数f（x）在[-1，1]上是增函数，
∴f（x）_max=f（1）=e-

a

e

，f（x）_min=f（-1）=

1

e

-ae，
∴函数f（x）在[-1，1]上的值域为[

1

e

-ae，e-

a

e

]．
（3）a=1时，函数g（x）=f（x）+|x|=e^x+e^-x+|x|是偶函数，
且当x≥0时，g（x）=e^x+e^-x+x，
g′（x）=e^x-e^-x+1=

e2x-1

ex

+1＞0，
即函数f（x）在[0，+∞）上单调增加，
当2x-1≥0时，2x-1＜3，解得

1

2

≤x＜2；
当2x-1＜0时，不等式g（2x-1）＜g（3），即g（1-2x）＜g（3），
∴1-2x＜3，解得-1＜x＜

1

2

．
综上所述，满足不等式g（2x-1）＜g（3）的x的取值范围是（-1，2）．

点评：本题考查实数值的求法，考查函数的值域的求法，考查不等式的解集的求法，解题时要认真审题，注意函数性质的合理运用．