Question

已知函数f（x）=

1

2

ax²-（2a+1）x+2lnx（a≥0）．
（Ⅰ）当a=0时，求f（x）的单调区间；
（Ⅱ）求y=f（x）在区间（0，2]上的最大值．

Answer 1

考点：利用导数求闭区间上函数的最值,函数的单调性与导数的关系,利用导数研究函数的单调性

专题：导数的概念及应用

分析：（Ⅰ）当a=0时，求出函数的导函数，进而分析函数的单调性，得到f（x）的单调区间；
（Ⅱ）求出原函数的导函数，结合二次函数的图象和性质，分a=0时，0＜a≤

1

2

时，a＞

1

2

时三种情况，分析函数y=f（x）在区间（0，2]上的单调性，可得答案．

解答： 解：（Ⅰ） 当a=0时，f（x）=-x+2lnx，
∴f′（x）=-1+

2

x

=

2-x

x

 （2分）
∵在区间（0，2）上，f′（x）＞0；
在区间（2，+∞）上，f′（x）＜0，
故f（x）的单调递增区间是（0，2），单调递减区间是（2，+∞）．（5分）
（Ⅱ）∵f（x）=

1

2

ax²-（2a+1）x+2lnx（a≥0）
∴f′（x）=ax-（2a+1）+

2

x

=

(ax-1)(x-2)

x

　（7分）
①当a=0时，由（Ⅰ）知f（x）在（0，2]上单调递增，
故在（0，2]上，f（x）_max=f（2）=2ln2-2　　　　　　　　　　　　　　　（9分）
②当0＜a≤

1

2

时，

1

a

≥2，
在区间（0，2]上，f′（x）≥0恒成立；
故f（x）在（0，2]上单调递增
故在（0，2]上，f（x）_max=f（2）=2ln2-2a-2　　　　　　　　　　　　　　（11分）
③当a＞

1

2

时，0＜

1

a

＜2，
在区间（0，

1

a

]上，f′（x）≥0恒成立；
在区间[

1

a

，2]上，f′（x）≤0恒成立，
f（x）在（0，

1

a

]上单调递增，在[

1

a

，2]上单调递减，（9分）
故在（0，2]上f（x）_max=f（

1

a

）=-2-

1

2a

-2lna．（13分）

点评：本题考查的知识点是导数法判断函数的单调性，熟练掌握导数的符号与原函数单调性的关系是解答的关键．