Question

2．如图，四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，底面ABCD是平行四边形，AD=2，${B_1}A={B_1}D=\sqrt{5}$，$BA=BD=\sqrt{2}$，E，F分别是AD，B₁C的中点．
（Ⅰ）求证：EF∥面ABB₁A₁；
（Ⅱ）设二面角B₁-AD-B的大小为60°，求证：直线BB₁⊥平面ABCD．

Answer 1

分析 （Ⅰ）设BC中点为G，连接GE，GF，推导出FG∥BB₁．从而FG∥平面ABB₁A₁，同理可证EG∥平面ABB₁A₁．从而平面FEG∥平面ABB₁A₁．由此能证明EF∥平面ABB₁A₁．
（Ⅱ）连接B₁E，推导出∠BEB₁是二面角B₁-AD-B的平面角，则∠BEB₁=60°，从而推导出B₁B⊥BE，B₁B⊥BA．由此能证明B₁B⊥平面ABCD．

解答 证明：（Ⅰ）设BC中点为G，连接GE，GF，
∵CG=GB，CF=FB₁，∴FG∥BB₁．
又∵FG?平面ABB₁A₁，BB₁?平面ABB₁A₁，
∴FG∥平面ABB₁A₁．
同理可证EG∥平面ABB₁A₁．
∵EG，FG是平面FEG内的两条相交直线，
∴平面FEG∥平面ABB₁A₁．
又∵EF?平面FEG，∴EF∥平面ABB₁A₁．
（Ⅱ）连接B₁E，BE．∵B₁A=B₁D，DE=DA，
∴B₁E⊥AD．同理BE⊥AD．
∴∠BEB₁是二面角B₁-AD-B的平面角，则∠BEB₁=60°，
在△B₁AD中，B₁A=B₁D=$\sqrt{5}$，AD=2，则B₁E=2．
在△BAD中，BA=BD=$\sqrt{2}$，AD=2AD=2，则BE=1．
在△BEB₁中，B₁E=2，BE=1，∠BEB₁=60°，
由余弦定理，得BB₁=$\sqrt{{1}^{2}+{2}^{2}-2×1×2×cos60°}$=$\sqrt{3}$．
∵${B}_{1}{B}^{2}+B{E}^{2}={B}_{1}{E}^{2}$，∴B₁B⊥BE．
在△B₁BA中，BB₁=$\sqrt{3}$，BA=$\sqrt{2}$，B₁A=$\sqrt{5}$，同理可证B₁B⊥BA．
又∵BE∩BA=B，∴B₁B⊥平面ABCD．

点评 本题考查线面平行的证明，考查线面垂直的证明，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．