Question

10．已知直线l：y=kx+2与椭圆E：x²+$\frac{{y}^{2}}{5}$=1交于A，B两点，若三角形AOB的面积$\frac{\sqrt{5}}{2}$，求直线的斜率k的值．

Answer 1

分析 设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．直线与椭圆方程联立化为：（5+k²）x²+4kx-1=0，|AB|=$\sqrt{（1+{k}^{2}）[（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}]}$，原点O到直线l的距离d．S_△AOB=$\frac{1}{2}d$|AB|=$\frac{\sqrt{5}}{2}$，化简解得即可得出．

解答 解：设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+2}\\{5{x}^{2}+{y}^{2}=5}\end{array}\right.$，化为：（5+k²）x²+4kx-1=0，
△＞0，
∴x₁+x₂=-$\frac{4k}{5+{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{-1}{5+{k}^{2}}$．
∴|AB|=$\sqrt{（1+{k}^{2}）[（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}]}$=$\sqrt{（1+{k}^{2}）[\frac{16{k}^{2}}{（5+{k}^{2}）^{2}}-\frac{4×（-1）}{5+{k}^{2}}]}$=$\frac{2\sqrt{5}（1+{k}^{2}）}{5+{k}^{2}}$．
原点O到直线l的距离d=$\frac{2}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$．
∴S_△AOB=$\frac{1}{2}d$|AB|=$\frac{1}{2}×$$\frac{2}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$×$\frac{2\sqrt{5}（1+{k}^{2}）}{5+{k}^{2}}$=$\frac{\sqrt{5}}{2}$，化为：（k²-3）²=0，
解得k²=3．
解得k=$±\sqrt{3}$．

点评 本题考查了直线与椭圆相交弦长问题、一元二次方程的根与系数、三角形面积计算公式、点到直线的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．