Question

16．已知函数f（x）=a^x-1（a＞0，a≠1）的图象经过点（3，$\frac{1}{9}$）．
（1）求a的值；
（2）求函数f（x）=a^2x-a^x-2+8，当x∈[-2，1]时的值域．

Answer 1

分析 （1）由题意：函数f（x）=a^x-1（a＞0，a≠1）的图象经过点（3，$\frac{1}{9}$）．带入计算即可求a的值．
（2）求函数转化为二次函数的问题求值域即可．

解答 解：（1）由题意：函数f（x）=a^x-1（a＞0，a≠1）的图象经过点（3，$\frac{1}{9}$）．
则有：$\frac{1}{9}={a}^{3-1}$
解得：$a=\frac{1}{3}$．
（2）由（1）可知$a=\frac{1}{3}$，
那么：函数f（x）=a^2x-a^x-2+8=$[（\frac{1}{3}）^{x}]^{2}$-4$（\frac{1}{3}）^{x}$+8
∵x∈[-2，1]
∴${（\frac{1}{3}）^x}∈[\frac{1}{3}，9]$
则$f（x）={[{（\frac{1}{3}）^x}]^2}-4{（\frac{1}{3}）^x}+8={[{（\frac{1}{3}）^x}-2]^2}+4$，
当${（\frac{1}{3}）^x}=9$，即x=-2时，f（x）_max=53．
当${（\frac{1}{3}）^x}=2$，即x=$lo{g}_{3}\frac{1}{2}$时，f（x）_min=4
所以函数的值域为[4，53]．

点评 本题考查了函数的带值计算和复合函数的值域值法．考查了转化思想，利用二次函数来求值域．属于中档题．