Question

6．已知$sin（{π-α}）-cos（{π+α}）=\frac{{\sqrt{2}}}{3}（{\frac{π}{2}＜α＜π}）$，求下列各式的值：
（1）sinαcosα；
（2）sinα-cosα；
（3）${sin^3}（{\frac{π}{2}-α}）-{cos^3}（{\frac{π}{2}+α}）$．

Answer 1

分析 （1）利用诱导公式化简已知，两边平方后，结合sin²α+cos²α=1，即可得解．
（2）由$\frac{π}{2}＜α＜π$，可求sinα＞0，cosα＜0，进而可求sinα-cosα＞0，结合（1）结论即可计算得解．
（3）由诱导公式，立方差公式即可化简求值得解．

解答 （本题满分14分）
解：（1）因为$sin（{π-α}）-cos（{π+α}）=sinα+cosα=\frac{{\sqrt{2}}}{3}$，…（2分）
两边平方可得：${sin^2}α+2sinα•cosα+{cos^2}α=\frac{2}{9}$．
又因为sin²α+cos²α=1，
所以$sinα•cosα=-\frac{7}{18}$．…（6分）
（2）由于$\frac{π}{2}＜α＜π$，那么sinα＞0，cosα＜0，
故sinα-cosα＞0，
所以$sinα-cosα=\sqrt{{{（{sina-cosα}）}^2}}=\sqrt{1-2sinα•cosα}=\frac{4}{3}$．…（10分）
（3）由诱导公式得：${sin^3}（{\frac{π}{2}-α}）-{cos^3}（{\frac{π}{2}+α}）={cos^3}α+{sin^3}α$
=（cosα+sinα）（cos²α-cosα•sinα+cos²α）=$\frac{{\sqrt{2}}}{3}×（{1+\frac{7}{18}}）=\frac{{25\sqrt{2}}}{54}$．…（14分）

点评 本题主要考查了诱导公式，同角三角函数基本关系式，立方差公式在三角函数化简求值中的应用，考查了转化思想，属于基础题．