Question

19．是否存在实数a，使得函数f（x）=a^2x+2a^x-1（a＞0且a≠1）在区间[-1，1]上的最大值为14？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析 先令t=a^x，转化为二次函数，再结合a＞1或0＜a＜1确定出t的范围，结合单调性确定何时取最大值列出方程即可．

解答 解：令t=a^x＞0
则原函数化为y=t²+2t-1=（t+1）²-2
结合二次函数的图象与性质可知该函数在（0，+∞）上是单调增函数
结合x∈[-1，1]，
则当a＞1时，t=a^x∈[$\frac{1}{a}$，a]，所以y_max=a²+2a-1=14，解得a=3或-5（舍），所以此时a=3符合题意；
当0＜a＜1时，t=a^x∈[a，$\frac{1}{a}$]，所以y_max=$\frac{1}{{a}^{2}}$+$\frac{2}{a}$-1=14，解得$\frac{1}{a}$=3或-5（舍），故a=$\frac{1}{3}$符合题意；
综上，所求实数a的值为3或$\frac{1}{3}$

点评 本题考查了利用指数函数与二次函数的单调性求最值，利用换元法将问题转化为二次函数的问题是关键．