Question

16．已知关于x的绝对值方程|x²+ax+b|=2，其中a，b∈R．
（1）当a，b满足什么条件时，方程的解集M中恰有3个元素？
（2）在条件（1）下，试求以方程解集M中的元素为边长的三角形，恰好为直角三角形的充要条件．

Answer 1

分析 （1）根据绝对值的性质结合一元二次函数的性质进行求解即可．
（2）根据直角三角形的性质结合充分条件和必要条件的定义进行求解判断即可．

解答 解　（1）原方程等价于x²+ax+b=2，①
或x²+ax+b=-2，②
由于△₁=a²-4b+8＞a²-4b-8=△₂，
∴△₂=0时，原方程的解集M中恰有3个元素，即a²-4b=8；
（2）必要性：由（1）知方程②的根x=-$\frac{a}{2}$，方程①的根x₁=-$\frac{a}{2}$-2，x₂=-$\frac{a}{2}$+2，
如果它们恰为直角三角形的三边，即（-$\frac{a}{2}$）²+（-$\frac{a}{2}$-2）²=（-$\frac{a}{2}$+2）²，
解得a=-16，b=62．
充分性：如果a=-16，b=62，可得解集M为{6，8，10}，以6，8，10为边长的三角
形恰为直角三角形．
∴a=-16，b=62为所求的充要条件．

点评 本题主要考查一元二次函数以及充分条件和必要条件的判断，综合性较强，有一定的难度．