Question

7．已知点P为双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）右支上的一点，点F₁，F₂分别为双曲线的左、右焦点，双曲线的一条渐近线的斜率为$\sqrt{3}$，若M为△PF₁F₂的内心，且S${\;}_{△PM{F}_{1}}$=S${\;}_{△PM{F}_{2}}$+λS${\;}_{△M{F}_{1}{F}_{2}}$，则λ的值为$\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 根据三角形的面积公式以及三角形的面积公式，建立方程关系，结合双曲线的渐近线斜率以及a，b，c的关系进行求解即可．

解答 解：设内切圆的半径为R，
∵S${\;}_{△PM{F}_{1}}$=S${\;}_{△PM{F}_{2}}$+λS${\;}_{△M{F}_{1}{F}_{2}}$成立，
∴S${\;}_{△PM{F}_{1}}$-S${\;}_{△PM{F}_{2}}$=λS${\;}_{△M{F}_{1}{F}_{2}}$，
即$\frac{1}{2}$|PF₁|•R-$\frac{1}{2}$|PF₂|•R=$\frac{1}{2}$•λ|P₁P₂|•R，
即$\frac{1}{2}$×2a•R=$\frac{1}{2}$•λ•2c•R，
∴a=λc，
∵双曲线的一条渐近线的斜率为$\sqrt{3}$，
∴$\frac{b}{a}$=$\sqrt{3}$即b=$\sqrt{3}$a=$\sqrt{3}$λc，
∵a²+b²=c²，
∴λ²c²+3λ²c²=c²，
即4λ²=1，即λ²=$\frac{1}{4}$，
得λ=$\frac{1}{2}$，
故答案为：$\frac{1}{2}$．

点评 本题主要考查双曲线性质的应用，根据三角形的面积公式，建立方程关系是解决本题的关键．考查学生的运算和转化能力．