Question

已知函数f（x）=log₂（ax²+2x+3）
（1）若f（1）=1，求f（x）的单调区间；
（2）若已知函数的值域为R，求a的取值范围；
（3）是否存在实数a，使f（x）的最小值为0？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由．

Answer 1

考点：对数函数的图像与性质

专题：函数的性质及应用

分析：（1）代入值计算即可
（2）函数f（x）定义域为R则，ax²+2x+3＞0，x∈R上恒成立，根据二次函数性值判断条件．
（3）存在实数a，使f（x）的最小值为1，根据复合函数单调性，可判断即a＞0，g（x）_min=g（-

1

a

）=1，求出a的值

解答： 解（1）∵f（1）=1，
∴log₂（a+2+3）=1=log₂2，
∴a+2+3=2，
解得a=-3，
（2）∵已知函数的值域为R，
∴ax²+2x+3＞0恒成立，
∴

a＞0 △＜0

，
即

a＞0 4-12a＜0

，
解得a＞

1

3

（3）令g（x）=ax²+2x+3，有题意知，要使f（x）取最小值为0，则函数g（x）需取得最小值1，
抛物线开口向上，即a＞0，
g（x）_min=g（-

1

a

）=1，
即

1

a

-

2

a

+3=1，
∴a=

1

2

满足条件．

点评：本题考查了对数函数，二次函数的性质，特别是单调性，最值问题，综合考察要求对函数理解很深刻，应用灵活．