Question

已知椭圆Г的方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）点A，B分别为Г上的两个动点，O为坐标原点，且OA⊥OB；其中OA，OB称为椭圆的一条半径．
（1）求证：

1

|OA|2

+

1

|OB|2

=

1

a2

+

1

b2

；|OA|²+|OB|²的最小值为

4a2b2

a2+b2

；
（2）过点O作OH⊥AB于H，求证：|OH|=

ab

a2+b2

；S_△OAB的最小值是

a2b2

a2+b2

；
（3）将（1）（2）的结论推广至双曲线，结论是否依然成立，若成立，证明你的结论；若不成立，请说明理由．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：计算题,不等式的解法及应用,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求出椭圆的极坐标方程为ρ²（b²cos²θ+a²sin²θ）=a²b²，设A（ρ₁，θ），B（ρ₂，θ+

π

2

），运用三角函数的平方关系和诱导公式，以及基本不等式，即可得到；
（2）运用直角三角形的面积公式，结合勾股定理和（1）的结论，即可得证；
（3）求出双曲线的极坐标方程，运用（1）（2）的方法，即可得到类似的结论．

解答： （1）证明：以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，
则椭圆的极坐标方程为ρ²（b²cos²θ+a²sin²θ）=a²b²，
设A（ρ₁，θ），B（ρ₂，θ+

π

2

），
则

1

|OA|2

+

1

|OB|2

=

1

ρ12

+

1

ρ22

=

b2cos2θ+a2sin2θ

a2b2

+

b2cos2(θ+ π 2 )+a2sin2(θ+ π 2 )

a2+b2

=

a2(sin2θ+cos2θ)+b2(cos2θ+sin2θ)

a2b2

=

a2+b2

a2b2

=

1

a2

+

1

b2

；
|OA|²+|OB|²=

a2b2

b2cos2θ+a2sin2θ

+

a2b2

b2sin2θ+a2cos2θ

=

1

a2+b2

[（b²cos²θ+a²sin²θ）+（b²sin²θ+a²cos²θ）]（

a2b2

b2cos2θ+a2sin2θ

+

a2b2

b2sin2θ+a2cos2θ

）
=

a2b2

a2+b2

（2+

b2cos2θ+a2sin2θ

b2sin2θ+a2cos2θ

+

b2sin2θ+a2cos2θ

b2cos2θ+a2sin2θ

）≥

4a2b2

a2+b2

，
即有|OA|²+|OB|²的最小值为

4a2b2

a2+b2

．
（2）证明：由三角形的面积公式，可得：|OH|=

|OA|•|OB|

|AB|

=

|OA|•|OB|

|OA|2+|OB|2

=

1 1 |OA|2 + 1 |OB|2

=

1 1 a2 + 1 b2

=

ab

a2+b2

，
S_△OAB=

1

2

|OH|•|AB|=

ab

2 a2+b2

•

|OA|2+|OB|2

≥

ab

2 a2+b2

•

2ab

a2+b2

=

a2b2

a2+b2

，
即有S_△OAB的最小值是

a2b2

a2+b2

；
（3）解：类似椭圆的做法，得到结论：已知双曲线的方程为

x2

a2

-

y2

b2

=1（b＞a＞0），
点A，B分别为双曲线上的两个动点，O为坐标原点，且OA⊥OB，
则有①

1

|OA|2

+

1

|OB|2

=

1

a2

-

1

b2

，|OA|²+|OB|²的最小值为

4a2b2

b2-a2

，
②过点O作OH⊥AB于H，则|OH|=

ab

b2-a2

；S_△OAB的最小值是

a2b2

b2-a2

．
则将（1）（2）的结论推广至双曲线，结论不依然成立，
理由是双曲线的极坐标方程为ρ²（b²cos²θ-a²sin²θ）=a²b²，且b＞a，
运用（1）、（2）的方法，即可得到上面的两个结论．

点评：本题考查椭圆的方程的运用，考查椭圆的极坐标方程的应用，考查三角函数的化简及求值，考查基本不等式的运用，考查化简运算能力，属于中档题．