题目内容

16．电视传媒公司为了解某地区电视观众对某类体育节目的收视情况，随机抽取了100名观众进行调查．下面是根据调查结果绘制的观众日均收看该体育节目时间的频率分布直方图：
非体育迷体育迷合计
男
女1055
合计
将日均收看该体育节目时间不低于40分钟的观众称为“体育迷”．
（1）根据已知条件完成上面的2×2列联表，若按95%的可靠性要求，并据此资料，你是否认为“体
育迷”与性别有关？
（2）现在从该地区非体育迷的电视观众中，采用分层抽样方法选取5名观众，求从这5名观众选取两人进行访谈，被抽取的2名观众中至少有一名女生的概率．
附：${K^2}=\frac{{n{{（{ad-bc}）}^2}}}{{（{a+b}）（{c+d}）（{a+c}）（{b+d}）}}$
P（K2≥k）0.050.01
k3.8416.635

分析 （1）由频率分布直方图计算在抽取的100人中“体育迷”的人数，填写列联表即可；利用表中数据计算观测值，对照临界值得出结论；
（2）根据分层抽样原理计算抽取的男生、女生人数，用列举法计算基本事件数，再计算所求的概率值．

解答 解 （1）由频率分布直方图可知，在抽取的100人中，
“体育迷”有25人，从而填写列联表如下：

非体育迷体育迷合计
男301545
女451055
将列联表中的数据代入公式计算，
得${K^2}=\frac{{n{{（{ad-bc}）}^2}}}{{（{a+b}）（{c+d}）（{a+c}）（{b+d}）}}$=$\frac{100}{33}≈3.030$，
因为3.030＜3.841，所以没有95%的可靠性理由认为“体育迷”与性别有关；
（2）根据分层抽样原理，抽取的男生有5×$\frac{30}{30+45}$=2人，记为A，B；
女生有5-2=3人，分别记为c、d、e；
从5人中任取2人，基本事件是AB、Ac、Ad、Ae、Bc、Bd、Be、cd、ce、de共10种，
至少有一名女生的事件是Ac、Ad、Ae、Bc、Bd、Be、cd、ce、de共9种，
故所求的概率为$P=\frac{9}{10}$．

点评 本题考查了频率分布直方图与独立性检验的应用问题，也考查了列举法求古典概型的概率问题，是综合题．

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