Question

4．已知函数f（x）=log₂[（4^x+1）•2^kx]，k∈R是偶函数．
（1）求k的值；
（2）若f（2t²+1）＜f（t²-2t+1），求t的取值范围．

Answer 1

分析 （1）根据偶函数得f（-x）=f（x），列方程求出k的值；
（2）由题意可得f（x）在[0，+∞）上是增函数，把不等式化为t²-2t+1＞2t²+1，求解即可．

解答 解：（1）由题意可得函数f（x）定义域为R，
由偶函数可得f（-x）=f（x），
∴log₂[（4^-x+1）2^-kx]=log₂[（4^x+1）2^kx]，
∴（4^-x+1）2^-kx=（4^x+1）2^kx，
∴$\frac{（1{+4}^{x}）}{{4}^{x}}$•$\frac{1}{{2}^{kx}}$=（4^x+1）•2^kx，
∴4^kx=4^-x，解得k=-1；
（2）由题意可得f（x）=log₂[（4^x+1）•2^-x]=log₂（2^x+2^-x），
∴f（x）在[0，+∞）上是增函数，且2t²+1＞0，t²-2t+1＞0，
∴不等式f（2t²+1）＜f（t²-2t+1）可化为t²-2t+1＞2t²+1，
解得-2＜t＜0，即t的取值范围是（-2，0）．

点评 本题考查了偶函数的定义与应用问题，也考查了不等式的解法与应用问题，是综合题．