Question

8．已知数列{a_n}中，a₁=1，a_n+1=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{3}{a}_{n}+n，n为奇数}\\{{a}_{n}-3n，n为偶数}\end{array}\right.$．
（1）证明：数列{a_2n-$\frac{3}{2}$}是等比数列；     
（2）求a_2n及a_2n-1．

Answer 1

分析 （1）设${b_n}={a_{2n}}-\frac{3}{2}$，可求得${b_1}={a_2}-\frac{3}{2}=（{\frac{1}{3}{a_1}+1}）-\frac{3}{2}=-\frac{1}{6}$，由已知可求得$\frac{{b}_{n+1}}{{b}_{n}}=\frac{\frac{1}{3}{a}_{2n}-\frac{1}{2}}{{a}_{2n}-\frac{3}{2}}=\frac{1}{3}$，于是可证数列$\left\{{{a_{2n}}-\frac{3}{2}}\right\}$是以$-\frac{1}{6}$为首项，$\frac{1}{3}$为公比的等比数列；
（2）由（1）的${b_n}={a_{2n}}-\frac{3}{2}=-\frac{1}{6}•{（\frac{1}{3}）^{n-1}}=-\frac{1}{2}•{（\frac{1}{3}）^n}$，可求得a_2n及a_2n-1．

解答 （1）证明：设${b_n}={a_{2n}}-\frac{3}{2}$，则${b_1}={a_2}-\frac{3}{2}=（{\frac{1}{3}{a_1}+1}）-\frac{3}{2}=-\frac{1}{6}$，
因为$\frac{{{b_{n+1}}}}{b_n}=\frac{{{a_{2（n+1）}}-\frac{3}{2}}}{{{a_{2n}}-\frac{3}{2}}}=\frac{{\frac{1}{3}{a_{2n+1}}+（2n+1）-\frac{3}{2}}}{{{a_{2n}}-\frac{3}{2}}}=\frac{{\frac{1}{3}（{a_{2n}}-6n）+（2n+1）-\frac{3}{2}}}{{{a_{2n}}-\frac{3}{2}}}=\frac{{\frac{1}{3}{a_{2n}}-\frac{1}{2}}}{{{a_{2n}}-\frac{3}{2}}}=\frac{1}{3}$，
所以数列$\left\{{{a_{2n}}-\frac{3}{2}}\right\}$是以$-\frac{1}{6}$为首项，$\frac{1}{3}$为公比的等比数列．----------（6分）
（2）解：由（1）的${b_n}={a_{2n}}-\frac{3}{2}=-\frac{1}{6}•{（\frac{1}{3}）^{n-1}}=-\frac{1}{2}•{（\frac{1}{3}）^n}$，即${a_{2n}}=-\frac{1}{2}•{（{\frac{1}{3}}）^n}+\frac{3}{2}$．
由${a_{2n}}=\frac{1}{3}{a_{2n-1}}+（2n-1）$得${a_{2n-1}}=3{a_{2n}}-3（2n-1）=-\frac{1}{2}•{（{\frac{1}{3}}）^{n-1}}-6n+\frac{15}{2}$．--------（12分）

点评 本题考查数列递推式的应用，考查等比关系的确定及其通项公式的运用，考查推理与运算能力，属于中档题．