Question

18．如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD⊥AB，AB∥DC，AD=DC=AP=1，$AB=\frac{1}{2}$，点E为棱PC的中点．
（1）求直线BE与AD所成角的大小；
（2）证明：BE⊥DC．

Answer 1

分析 （1）取PD中点M，连结EM，AM．推导出四边形ABEM为平行四边形，从而BE∥AM，进而∠MAD为异面直线BE与AD所成角（或补角），由此能求出异面直线BE与AD所成角．
（2）推导出PA⊥CD，CD⊥DA，从而CD⊥平面PAD，进而CD⊥AM，再由BE∥AM，能证明BE⊥CD．

解答 解：（1）如图，取PD中点M，连结EM，AM．
由于E，M分别为PC、PD的中点，故$EM\underline{\underline{∥}}\frac{1}{2}DC$；
又$AB\underline{\underline{∥}}\frac{1}{2}DC，EM\underline{\underline{∥}}AB$，
∴四边形ABEM为平行四边形，∴BE∥AM．
∴∠MAD为异面直线BE与AD所成角（或补角），
在Rt△PAD中，∵AD=DC=AP=1，∴∠MAD=45°，
∴异面直线BE与AD所成角为45°．…（6分）
证明：（2）∵PA⊥底面ABCD，故PA⊥CD，
而CD⊥DA，CD∩DA=D，∴CD⊥平面PAD，
∵AM?平面PAD，∴CD⊥AM，
又由（1）得BE∥AM，
∴BE⊥CD．…（12分）

点评 本题考查两条异面直线所成角的大小的求法，考查线线垂直的证明，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．