Question

7．如图，点P是正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的面对角线BC₁（线段BC₁）上运动，给出下列五个命题：
①三棱锥A-D₁PC的体积不变；
②直线AP与平面ACD₁所成角的大小不变；
③二面角P-AD₁-C的大小不变；
④直线AD与直线B₁P为异面直线；
⑤点M是平面A₁B₁C₁D₁上到点D和C₁距离相等的点，则点M一定在直线A₁D₁上．
其中真命题的编号为①③④⑤．（写出所有真命题的编号）

Answer 1

分析 对于①：容易证明AD₁∥BC₁，从而BC₁∥平面AD₁C，以P为顶点，平面AD₁C为底面，易得；
对于②：可以从向量的角度进行判断；
对于③：平面PD₁A平面ACD₁的法向量的夹角是不变的，得到结论；
对于④：根据异面直线的判定定理，可得结论；
对于⑤：点M到点D和C₁距离相等，故点M在平面A₁D₁CB上，进而可得结论．

解答 解：对于①：容易证明AD₁∥BC₁，从而BC₁∥平面AD₁C，
故BC₁上任意一点到平面AD₁C的距离均相等，所以以P为顶点，平面AD₁C为底面，
则三棱锥A-D₁PC的体积不变；①正确；

对于②：∵随着P点的移动，$\overrightarrow{AP}$与平面ACD₁的法向量的夹角也是变化的，∴②错误
对于③：∵平面PD₁A平面ACD₁的法向量的夹角是不变的，∴③正确；
对于④：AD∥平面B₁C₁CB，B₁P?平面B₁C₁CB，B₁P与AD不平行，故直线AD与直线B₁P为异面直线；④正确；
对于⑤，点M到点D和C₁距离相等，故点M在平面A₁D₁CB上，又由M在平面A₁B₁C₁D₁上，故点M一定在直线A₁D₁上．故⑤正确．
故答案为：①③④⑤

点评 本题考查三棱锥体积求法中的等体积法；线面平行、垂直的判定，要注意使用转化的思想．