Question

6．如图，直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠DAB=90°，AD=AB=4，CD=1，动点P在边BC上，且满足$\overrightarrow{AP}=m\overrightarrow{AB}+n\overrightarrow{AD}$（m，n均为正实数），则$\frac{1}{m}+\frac{1}{n}$的最小值为$\frac{7+4\sqrt{3}}{4}$．

Answer 1

分析 假设$\overrightarrow{BP}$=λ$\overrightarrow{BC}$，用$\overrightarrow{AB}，\overrightarrow{AD}$表示出$\overrightarrow{AP}$，使用平面向量的基本定理得出m，n与λ的关系，得到$\frac{1}{m}+\frac{1}{n}$关于λ的函数，求出函数的最值．

解答 解：$\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DC}$=$\frac{1}{4}\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}$，$\overrightarrow{BC}$=$\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}$=-$\frac{3}{4}\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{AD}$，
设$\overrightarrow{BP}$=λ$\overrightarrow{BC}$=-$\frac{3λ}{4}$$\overrightarrow{AB}$+λ$\overrightarrow{AD}$（0≤λ≤1），
则$\overrightarrow{AP}$=$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BP}$=（1-$\frac{3λ}{4}$）$\overrightarrow{AB}$+λ$\overrightarrow{AD}$．
∵$\overrightarrow{AP}=m\overrightarrow{AB}+n\overrightarrow{AD}$，∴m=1-$\frac{3λ}{4}$，n=λ．
∴$\frac{1}{m}+\frac{1}{n}$=$\frac{4}{4-3λ}+\frac{1}{λ}$=$\frac{λ+4}{-3{λ}^{2}+4λ}$=$\frac{1}{28-（3（λ+4）+\frac{64}{λ+4}）}$≥$\frac{1}{28-2\sqrt{3×64}}$=$\frac{7+4\sqrt{3}}{4}$．
当且仅当3（λ+4）=$\frac{64}{λ+4}$即（λ+4）²=$\frac{64}{3}$时取等号．
故答案为：$\frac{7+4\sqrt{3}}{4}$．

点评 本题考查了平面向量的基本定理，向量的线性运算的几何意义，基本不等式，属于中档题．