Question

在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AA₁=AD=2，E为CD中点．
（1）求证：B₁E⊥AD₁；
（2）在棱AA₁上是否存在一点P，使得DP∥平面B₁AE？若存在，求AP的长．若不存在，说明理由．

Answer 1

考点：直线与平面垂直的性质,直线与平面平行的判定

专题：证明题,空间位置关系与距离

分析：（1）连接A₁D，B₁C，证明AD₁⊥平面A₁B₁CD，即可证得结论；
（2）取B₁A中点F，连结PF、EF，利用三角形的中位线的性质，可得线线平行，从而可得线面平行．

解答： （1）证明：在长方体中，B₁A₁⊥平面ADD₁A₁，
∴B₁A₁⊥AD₁ 
在矩形ADD₁A₁中，∵AD=AA₁=2
∴矩形ADD₁A₁为正方形
∴A₁D⊥AD₁ 
又B₁A₁∥CD，∴AD₁⊥平面CDA₁B₁
∵E为CD中点
∴B₁E⊆平面CDA₁B₁
∴AD₁⊥B₁E

（2）解：存在AA₁中点P，AP=1时得DP∥平面B₁AE
取B₁A中点F，连结PF、EF
在△AA₁B₁中，PF平行且等于

1

2

A₁B₁   
在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，A₁B₁平行且等于CD，∵E为CD中点，
∴PF平行且等于DE
∴四边形PFED为平行四边形
∴DP∥EF
又EF⊆平面B₁AE，DP?平面B₁AE，
∴DP∥平面B₁AE

点评：本题考查线面垂直，线面平行，考查学生分析解决问题的能力，掌握线面垂直，线面平行的判定方法是关键．