Question

已知函数f（x）=x³+ax²+bx+c在点M（1，f（1））处的切线方程为3x-y+1=0，且在x=

2

3

处有极值．
（1）求函数y=f（x）的解析式；  
（2）求函数y=f（x）的极大值与极小值．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的极值

专题：计算题,导数的概念及应用,导数的综合应用

分析：（1）求出函数的导数，求出切点，由已知切线斜率，得到方程，解出a，b，c即可；
（2）运用导数大于0和小于0，求出单调增区间和减区间，进而得到极大值和极小值．

解答： 解：（1）由题意得 M（1，4），f′（x）=3x²+2ax+b，
即有

f(1)=1+a+b+c=4 f′(1)=3+2a+b=3 f′( 2 3 )= 4 3 + 4 3 a+b=0

解得，a=2，b=-4，c=5
则f（x）=x³+2x²-4x+5；
（2）f′（x）=3x²+4x-4，
令f′（x）=0得x=-2或

2

3

，
当x＞

2

3

或x＜-2时，f′（x）＞0，f（x）递增，
当-2＜x＜

2

3

时，f′（x）＜0，f（x）递减，
则x=-2时，f（x）取得极大值，且为-8+8+8+5=13，
当x=

2

3

时，f（x）取得极小值，且为

8

27

+

8

9

-

8

3

+5=

95

27

．

点评：本题考查导数的运用：求切线方程和求极值，考查运算能力，属于基础题．