Question

5．已知数列{a_n}的前n项和为S_n，满足S_n=S_n-1+2a_n-1+1，（n≥2，n∈N^*），且a₁=3．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设${b_n}={log_2}（\frac{1}{{{a_n}+1}}）$，求证：$\frac{1}{{{b_1}{b_2}}}+\frac{1}{{{b_2}{b_3}}}+…+\frac{1}{{{b_n}{b_{n+1}}}}＜\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用已知条件，推出新数列是等比数列，然后求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）化简${b_n}={log_2}（\frac{1}{{{a_n}+1}}）$，利用裂项消项法求解数列的和即可证明结果．

解答 （本小题满分12分）
解：（Ⅰ）由题意a_n=2a_n-1+1（n≥2，n∈N^*）
∴a_n+1=2（a_n-1+1）…..（3分）
{a_n+1}是等比数列，公比为2，首项为：a₁+1=4
∴${a_n}+1=4×{2^{n-1}}$…（5分）
∴${a_n}={2^{n+1}}-1$…（6分）
（Ⅱ）证明：${b_n}={log_2}（\frac{1}{{{a_n}+1}}）$=$lo{g}_{2}（\frac{1}{{2}^{n+1}-1+1}）$=-n-1，
$\frac{1}{{b}_{n}{b}_{n+1}}$=$\frac{1}{（n+2）（n+1）}$=$\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2}$，
$\frac{1}{{b}_{1}{b}_{2}}$+$\frac{1}{{b}_{2}{b}_{3}}$$+…+\frac{1}{{b}_{n}{b}_{n+1}}$=$\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}$$+…+\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2}$
=$\frac{1}{2}-\frac{1}{n+2}$$＜\frac{1}{2}$成立．

点评 本题考查数列的递推关系式的应用，数列求和，考查转化思想以及计算能力．