题目内容

14．直角△ABC的三边a，b，c，满足3≤a≤5≤b≤8≤c≤9，则△ABC面积的最大值是5$\sqrt{14}$．

分析 设c边所对的角为C，运用三角形的面积公式和放缩法，以及勾股定理，即可得到所求最大值．

解答 解：设c边所对的角为C，
则△ABC的面积S=$\frac{1}{2}$absinC≤$\frac{1}{2}$•5•8•sin90°=20，
当且仅当a=5，b=8，c=$\sqrt{25+64}$=$\sqrt{89}$取得等号．
但由于8≤c≤9，等号不成立，
又a的最大值为5，c的最大值为9，可得b=$\sqrt{81-25}$=2$\sqrt{14}$，
则△ABC的面积的最大值为$\frac{1}{2}$ab=$\frac{1}{2}$×5×2$\sqrt{14}$=5$\sqrt{14}$．
故答案为：5$\sqrt{14}$．

点评 本题考查三角形的面积的最值求法，注意运用放缩法，以及勾股定理，考查运算能力，属于中档题．

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