Question

已知函数f（x）=x³+ax²+bx+c，若x=-2时，y=f（x）有极值．y=f（x）在（1，f（1））处的切线l不过第四象限且斜率为3，又坐标原点到切线l的距离为

10

10

．
（1）求函数f（x）的解析式．
（2）若函数y=f（x）的图象与直线y=m有三个不同的公共点，求实数m的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的极值,利用导数研究曲线上某点切线方程

专题：导数的综合应用

分析：（1）由f'（x）=3x²+2ax+b．得

f′(-2)=0 f′(1)=3

，则

|m|

32+1

=

10

10

．解得m=±1．由切点坐标为（1，4），从而f（x）=x³+2x²-4x+5；
（2）由（1）知f（x）=x³+2x²-4x+5，得f'（x）=3x²+4x-4=（x+2）（3x-2），令f′(x)=0，得x1=-2，x2=

2

3

．从而f（x）_极大值=f（-2）=13，f（x）_极小值=f(

2

3

)=

95

27

，进而求出m的范围．

解答： 解：（1）∵f'（x）=3x²+2ax+b．
∴

f′(-2)=0 f′(1)=3

，
解得a=2，b=-4，
设切线l的方程为y=3x+m，由原点到切线l的距离为

10

10

，
则

|m|

32+1

=

10

10

．解得m=±1．
∵切线l不过第四象限，
∴m=1．∴切线l的方程为y=3x+1，
由于切点的横坐标为x=1，
∴切点坐标为（1，4），
∵f（1）=4.1+a+b+c=4，
∴c=5．f（x）=x³+2x²-4x+5；
（2）由（1）知f（x）=x³+2x²-4x+5，
∴f'（x）=3x²+4x-4=（x+2）（3x-2），
令f′(x)=0，得x1=-2，x2=

2

3

．
x∈(-∞，-2)∪(

2

3

，+∞)f′(x)＞0，x∈(-2，

2

3

)f′(x)＜0
∴f（x）_极大值=f（-2）=13，f（x）_极小值=f(

2

3

)=

95

27

∵函数y=f（x）的图象与直线y=m有三个不同的公共点，
∴

95

27

＜m＜13；
∴m∈(

95

27

，13)．

点评：本题考察了利用导数研究函数的单调性，函数的极值问题，以及求曲线上某点的切线方程问题，本题是一道中档题．