题目内容
某陶瓷厂准备烧制甲、乙、丙三件不同的工艺品，制作过程必须先后经过两次烧制，当第一次烧制合格后方可进入第二次烧制，两次烧制过程相互独立．根据该厂现有技术水平，经过第一次烧制后，甲、乙、丙三件产品合格的概率依次为0.5、0.6、0.4，经过第二次烧制后，甲、乙、丙三件产品合格的概率依次为0.6、0.5、0.75，
（1）求第一次烧制后恰有一件产品合格的概率；
（2）经过前后两次烧制后，合格工艺品的个数为X，求随机变量X的分布列，均值和方差．
（1）求第一次烧制后恰有一件产品合格的概率；
（2）经过前后两次烧制后，合格工艺品的个数为X，求随机变量X的分布列，均值和方差．
考点：离散型随机变量的期望与方差,相互独立事件的概率乘法公式,离散型随机变量及其分布列
专题：概率与统计
分析：（1）分别记甲、乙、丙经第一次烧制后合格为事件A1、A2、A3．设E表示第一次烧制后恰好有一件合格，则P（E）=P（A1•A2•A3）+P（A1•A2•A3）+P（A1•A2•A3），由此能求出第一次烧制后恰有一件产品合格的概率．
（2）分别记甲、乙、丙经过两次烧制后合格为事件A、B、C，则P（A）=P（B）=P（C）=0.3，X～B（3，0.3），由此能求出随机变量X的分布列，均值和方差．
（2）分别记甲、乙、丙经过两次烧制后合格为事件A、B、C，则P（A）=P（B）=P（C）=0.3，X～B（3，0.3），由此能求出随机变量X的分布列，均值和方差．
解答：
解：（1）分别记甲、乙、丙经第一次烧制后合格为事件A1、A2、A3．
设E表示第一次烧制后恰好有一件合格，则
P（E）=P（A1•A2•A3）+P（A1•A2•A3）+P（A1•A2•A3）
=0.5×0.4×0.6+0.5×0.6×0.6+0.5×0.4×0.4=0.38．
（2）分别记甲、乙、丙经过两次烧制后合格为事件A、B、C，
则P（A）=P（B）=P（C）=0.3，
∴P（X=0）=（1-0.3）3=0.343，
P（X=1）=3×（1-0.3）2×0.3=0.441，
P（X=2）=3×0.32×0.7=0.189，
P（X=3）=0.33=0.027．
∴X的分布列为：
∵每件工艺品经过两次烧制后合格的概率均为p=0.3，
∴X～B（3，0.3），
E（X）=np=3×0.3=0.9．D（X）=np（1-p）=3×0.3×（1-0.3）=0.63．
设E表示第一次烧制后恰好有一件合格，则
P（E）=P（A1•A2•A3）+P（A1•A2•A3）+P（A1•A2•A3）
=0.5×0.4×0.6+0.5×0.6×0.6+0.5×0.4×0.4=0.38．
（2）分别记甲、乙、丙经过两次烧制后合格为事件A、B、C，
则P（A）=P（B）=P（C）=0.3，
∴P（X=0）=（1-0.3）3=0.343，
P（X=1）=3×（1-0.3）2×0.3=0.441，
P（X=2）=3×0.32×0.7=0.189，
P（X=3）=0.33=0.027．
∴X的分布列为：
| X | 0 | 1 | 2 | 3 |
| P | 0.343 | 0.441 | 0.189 | 0.027 |
∴X～B（3，0.3），
E（X）=np=3×0.3=0.9．D（X）=np（1-p）=3×0.3×（1-0.3）=0.63．
点评：本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列、数学期望、方差的求法，是中档题，要注意二项分布的合理运用．
练习册系列答案
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