Question

等比数列{a_n}中，a₂=1+cosα，a₃=

cos2α+4cosα+3

2

，90°＜α＜180°
（1）1+3cosα+3cos²α+cos³α是数列中的第几项？
（2）若tan（180°-α）=

4

3

，求数列{a_n}前n项的和T_n．

Answer 1

考点：数列的求和,三角函数中的恒等变换应用

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）由已知条件推导出等比数列{a_n}的首项a₁=1，公比q=1+cosα，由1+3cosα+3cos²α+cos²α=（1+cosα）³，
得1+3cosα+3cos²α+cos³α是数列中的第4项．
（2）由tan（180°-α）=-tanα=

4

3

，90°＜α＜180°，得a₁=1，q=

2

5

，由此能求出数列{a_n}前n项的和．

解答： 解：（1）∵等比数列{a_n}中，90°＜α＜180°，
a₂=1+cosα，a₃=

cos2α+4cosα+3

2

=

2cos2α+4cosα+2

2

=（1+cosα）²，
∴等比数列{a_n}的首项a₁=1，公比q=1+cosα，
∴a_n=（1+cosα）^n-1．
∵1+3cosα+3cos²α+cos³α=（1+cosα）³，
∴1+3cosα+3cos²α+cos³α是数列中的第4项．
（2）∵tan（180°-α）=-tanα=

4

3

，90°＜α＜180°，
∴1+cosα=1-

3

5

=

2

5

，
∴a₁=1，q=

2

5

，
∴数列{a_n}前n项的和T_n=

1-( 2 5 )n

1- 2 5

=

5

3

-

5

3

•(

2

5

)n．

点评：本题考查等比数列中某一项的判断，考查数列的前n项和的求法，解题时要认真审题，注意三角函数的性质的合理运用．