Question

设f（x）=lg

1+2x+4xa

3

在（-∞，1]恒成立，求a的取值范围．

Answer 1

考点：函数恒成立问题

专题：函数的性质及应用

分析：根据对数的性质，将函数恒成立转化为

1+2x+4xa

3

＞0在（-∞，1]恒成立，利用参数分离法，结合二次函数的图象和性质，即可得到结论．

解答： 解：若f（x）=lg

1+2x+4xa

3

在（-∞，1]恒成立，
即

1+2x+4xa

3

＞0在（-∞，1]恒成立，
即1+2^x+a•4^x＞0，
则a•4^x＞-1-2^x，
即a＞

-1-2x

4x

=-（

1

4x

+(

1

2

)x）=-[(

1

2

)x]²-(

1

2

)x，
设t=(

1

2

)x，当x≤1时，t≥

1

2

，
设g（t）=-t²-t=-（t+

1

2

）²+

1

4

，
∵t≥

1

2

，
∴当t=

1

2

时，g（t）取得最大值g（

1

2

）=-

3

4

，
则a＞-

3

4

．

点评：本题主要考查函数恒成立的应用，根据对数的性质以及二次函数的性质是解决本题的关键．