题目内容

已知函数y=
x-
2
x-
3
（x≠
3
），
（1）求函数的值域；
（2）如果x∈Z，求y的最大值、最小值．
考点：函数的最值及其几何意义
专题：函数的性质及应用
分析：（1）利用分子常数化，利用分式函数的性质即可求函数的值域；
（2）如果x∈Z，根据分式函数的单调性的性质，即可求y的最大值、最小值．
解答： 解：（1）y=
x-
2
x-
3
=
x-
3
+
3
-
2
x-
3
=1+
3
-
2
x-
3
，
∵
3
-
2
≠0，
∴y=1+
3
-
2
x-
3
≠1，
即函数的值域为{y|y≠1}；
（2）y=f（x）=
x-
2
x-
3
=1+
3
-
2
x-
3
，
∵
3
-
2
＞0，
∴函数f（x）在（
3
，+∞）和（-∞，
3
）上分别递减，
∵x∈Z，
∴y的最大值为f（2）=
2-
2
2-
3
、最小值为f（1）=
1-
2
1-
3
．
点评：本题主要考查函数的值域以及函数最值的求解，利用分式函数的图象和性质是解决本题的关键．
练习册系列答案
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提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况．在一般情况下，大桥上的车流速度v（单位：千米/小时）和车流密度x（单位：辆/千米）满足关系式：v(x)=
50，0≤x≤20
kx+60，20＜x≤120
（k∈R）．研究表明：当桥上的车流密度达到120辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0千米/小时．
（1）求函数v（x）的表达式；
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（2）令p（x）=
φ(x)
φ(x)+
3
，q（x）=
3
φ(2x)+3
，求证：p（
1
2014
）+p（
2
2014
）+…+p（
2013
2014
）=q（
1
2014
）+q（
2
2014
）+…+q（
2013
2014
）．
（3）若f（x）=
φ(x+1)+a
φ(x)+b
为R的奇函数．
  （i）求函数f（x）的表达式；
  （ii）若对任意的x∈R，都有f（φ（2x）-1）+f（2-kφ（x））＞0恒成立，求k的取值范围．
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（1）求a2014的值；  
（2）若{an}的前n项和为Sn．求Sn≤2014的最大n值．
已知数列{an}，an≥0，a1=0，an+12+an+1-1=an2（n∈N+）．请用数学归纳法证明：当n∈N+时，an＜an+1．
等比数列{an}中，a2=1+cosα，a3=
cos2α+4cosα+3
2
，90°＜α＜180°
（1）1+3cosα+3cos2α+cos3α是数列中的第几项？
（2）若tan（180°-α）=
4
3
，求数列{an}前n项的和Tn．
已知角α的顶点在原点，始边与x轴的正半轴重合，终边经过点P（-3，
3
）．
（Ⅰ）求sin2α-tanα的值；
（Ⅱ）若函数f（x）=cos（x-α）cosα-sin（x-α）sinα，求函数y=
3
f（
π
2
-2x）-2f2（x）在区间[0，
π
2
]上的值域．
求满足下列条件的点的轨迹方程
①已知动圆过定点P（1，0）且与直线l：x=-1相切，求动圆圆心M的轨迹方程．
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已知命题p：“x2+y2＜1”，命题q：“xy+1＞x+y”，则命题p是命题q成立的
 
条件．

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