Question

10．如图1，在等腰直角三角形ABC中，∠B=90°，将△ABC沿中位线DE翻折得到如图2所示的空间图形，使二面角A-DE-C的大小为θ（0＜θ＜$\frac{π}{2}$）．

（1）求证：平面ABD⊥平面ABC；
（2）若θ=$\frac{π}{3}$，求直线AE与平面ABC所成角的正弦值．

Answer 1

分析 （1）证明：DE⊥平面ADB，DE∥BC，可证BC⊥平面ABD，即可证明平面ABD⊥平面ABC．
（2）取DB中点O，AO⊥DB，由（1）得平面ABD⊥平面EDBC，AO⊥面EDBC，所以以O为原点，建立如图坐标系，
则A（0，0，$\sqrt{3}$），B（1，0，0），C（1，4，0），E（-1，2，0），利用平面ABC的法向量 求解．

解答 （1）证明：由题意，DE∥BC，
∵DE⊥AD，DE⊥BD，AD∩BD=D，
∴DE⊥平面ADB，∴BC⊥平面ABD；
∵$BC?\\;面ABC$面ABC，∴平面ABD⊥平面ABC；
（2）由已知可得二面角A-DE-C的平面角就是∠ADB
设等腰直角三角形ABC的直角边AB=4，则在△ADB中，AD=DB=AB=2，
取DB中点O，AO⊥DB，由（1）得平面ABD⊥平面EDBC，
∴AO⊥面EDBC，所以以O为原点，建立如图坐标系，
则A（0，0，$\sqrt{3}$），B（1，0，0），C（1，4，0），E（-1，2，0）
设平面ABC的法向量为$\overrightarrow{m}=（x，y，z）$，
$\overrightarrow{AB}=（1，0，-\sqrt{3}）$，$\overrightarrow{AC}=（1，4，-\sqrt{3}）$．由$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{AB}=x-\sqrt{3}z=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{AC}=x+4y-\sqrt{3}z=0}\end{array}\right.$，取$\overrightarrow{m}=（\sqrt{3}，0，1）$，
$\overrightarrow{AE}=（-1，2，-\sqrt{3}$}，
∴直线AE与平面ABC所成角的θ，sinθ=|cos＜$\overrightarrow{m}，\overrightarrow{AE}$＞|=|$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{AE}}{|\overrightarrow{AE}||\overrightarrow{m}|}$|=$\frac{\sqrt{6}}{4}$．
即直线AE与平面ABC所成角的正弦值为：$\frac{\sqrt{6}}{4}$

点评 本题考查线面垂直，考查向量法求二面角，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．