Question

已知数列{a_n}和数列{b_n}，a₁=1，a_n=a_n-1+2，b₁=2，b_n=3b_n-1+2
（1）求数列{a_n}和数列{b_n}的通项公式；
（2）求数列{a_nb_n}的前n项和S_n．

Answer 1

考点：数列的求和,数列递推式

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）由已知条件推导出数列{a_n}是首项为1公差为2的等差数列，从而得到a_n=1+（n-1）×2=2n-1．{b_n+1}是首项为3，公比为3的等比数列，从而得到b_n=3ⁿ-1．
（2）由（1）知a_nb_n=（2n-1）•3ⁿ-2n+1，由此利用分组求和法能求出结果．

解答： 解：（1）∵a₁=1，a_n=a_n-1+2，
∴数列{a_n}是首项为1公差为2的等差数列，
∴a_n=1+（n-1）×2=2n-1．
∵b₁=2，b_n=3b_n-1+2，
∴b_n+1=3（b_n-1+1），又b₁+1=3，
∴{b_n+1}是首项为3，公比为3的等比数列，
∴b_n+1=3ⁿ．∴bn=3n-1
（2）由（1）知a_nb_n=（2n-1）•3ⁿ-2n+1，
∴TT_n=1•3+3•3²+5•3³+…+（2n-1）•3ⁿ，①
3T_n=1•3²+3•3³+5•3⁴+…+（2n-1）•3ⁿ⁺¹，②
①-②，得：-2T_n=3+2（3²+3³+…+3ⁿ）-（2n-1）•3ⁿ⁺¹
=3+2×

9(1-3n-1)

1-3

-（2n-1）•3ⁿ⁺¹
=3+3ⁿ⁺¹-9-（2n-1）•3ⁿ⁺¹
=-（2n-2）•3ⁿ⁺¹-6，
∴T_n=（n-1）•3ⁿ⁺¹+3．
∴S_n=T_n-2×

n(n+1)

2

+n
=（n-1）•3ⁿ⁺¹-n²+3．

点评：本题考查数列的通项公式的求法，考查数列的前n项和的求法，解题时要认真审题，注意分组求和法的合理运用．