题目内容
已知等比数列{an}是递增数列，Sn是数列{an}的前n项和，若a1、a3是方程x2-5x+4=0的两个根，设bn=2n•an，求数列{bn}的前n项和Tn．
考点：数列的求和
专题：等差数列与等比数列
分析：由已知条件推导出an=2n-1．从而得到bn=2n•an=n•2n，由此利用错位相减法能求出Tn=（n-1）•2n+1+2．
解答：
解：∵等比数列{an}是递增数列，a1、a3是方程x2-5x+4=0的两个根，
∴a1＜a3，q＞0，解方程x2-5x+4=0，得x1=1，x2=4，
∴a1=1，a3=4，∴q2=4，解得q=2，或q=-2（舍），
∴an=2n-1．
∴bn=2n•an=n•2n，
∴Tn=1•2+2•22+3•23+…+n•2n，①
2Tn=1•22+2•23+3•24+…+n•2n+1，②
①-②，得-Tn=2+22+23+…+2n-n•2n+1
=
-n•2n+1
=2n+1-2-n•2n+1．
∴Tn=（n-1）•2n+1+2．
∴a1＜a3，q＞0，解方程x2-5x+4=0，得x1=1，x2=4，
∴a1=1，a3=4，∴q2=4，解得q=2，或q=-2（舍），
∴an=2n-1．
∴bn=2n•an=n•2n，
∴Tn=1•2+2•22+3•23+…+n•2n，①
2Tn=1•22+2•23+3•24+…+n•2n+1，②
①-②，得-Tn=2+22+23+…+2n-n•2n+1
=
| 2(1-2n) |
| 1-2 |
=2n+1-2-n•2n+1．
∴Tn=（n-1）•2n+1+2．
点评：本题考查数列的前n项和的求法，解题时要认真审题，注意错位相减法的合理运用．
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