Question

已知函数f（x）=mx-αlnx-m，g（x）=

ex

ex

，其中m，α均为实数．
（1）求g（x）的极值；
（2）设m=1，α＜0，若对任意的x₁，x₂∈[3，4]（x₁≠x₂），|f（x₂）-f（x₁）|＜|

1

g(x2)

-

1

g(x1)

|恒成立，求a的最小值；
（3）设α=2，若对任意给定的x₀∈（0，e]，在区间（0，e]上总存在t₁、t₂（t₁≠t₂），使得f（t₁）=f（t₂）=g（x₀）成立，求m的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的极值,利用导数研究函数的单调性

专题：导数的概念及应用

分析：（1）对于第一问非常简单，只需按求解极值的定义求解即可．
（2）在所给式子中含绝对值，一般考虑去掉绝对值，x₁，x₂是任给的两个数，所以可考虑用函数单调性．去掉绝对值之后，注意观察式子，你会发现，只要做适当变形，便可利用函数单调性的定义，得到一个新的函数的单调性，再结合导数求a的范围即可．
（3）通过第三问的条件，你会得到f（x）在区间（0，e]不是单调函数的结论，并要求f（x）的值域需包含g（x）的值域便可．接下来就是看怎样让f（x）的值域包含g（x）的值域，即能求出m的范围．

解答： 解：（1）g′（x）=

e(1-x)

ex

，令

e(1-x)

ex

=0，解得x=1，
∵e^x＞0，∴x∈（-∞，1）时，g′（x）＞0；x∈（1，+∞）时，g′（x）＜0，根据极大值的定义知：g（x）极大值是g（1）=1，无极小值．
（2）当m=1，a＜0时，f（x）=x-alnx-1，所以在[3，4]上f′（x）=

x-a

x

＞0，所以f（x）在[3，4]上是增函数．
设h（x）=

1

g(x)

=

ex

ex

，所以在[3，4]上h′（x）=

ex(x-1)

ex2

＞0，所以h（x）在[3，4]上为增函数．
设x₂＞x₁，则|f(x2)-f(x1)|＜|

1

g(x2)

-

1

g(x1)

|恒成立，变成f(x2)-f(x1)＜

1

g(x2)

-

1

g(x1)

恒成立，即：f（x₂）-f（x₁）＜h（x₂）-h（x₁）恒成立，即：f（x₂）-h（x₂）＜f（x₁）-h（x₁）．设u（x）=f（x）-h（x）=x-alnx-1-

1

e

•

ex

x

，则u（x）在[3，4]上为减函数．
∴u′（x）=1-

a

x

-

1

e

•

ex(x-1)

x2

≤0在[3，4]上恒成立．
∴a≥x-ex-1+

ex-1

x

恒成立．设v（x）=x--ex-1+

ex-1

x

，所以v′（x）=1-ex-1+

ex-1(x-1)

x2

=1-ex-1[(

1

x

-

1

2

)2+

3

4

]，因为x∈[3，4]，所以ex-1[(

1

x

-

1

2

)2+

3

4

]＞

3

4

e2，所以v′（x）＜0，所以v（x）为减函数．
∴v（x）在[3，4]上的最大值为v（3）=3-

2

3

e2．
∴a≥3-

2

3

e2，∴a的最小值为：3-

2

3

e2．
（3）由（1）知g（x）在（0，1]上单调递增，在（1，e]单调单调递减，又g（0）=0，g（e）=

e2

ee

，所以g（x）的值域是（0，1]．
∵f（x）=mx-2lnx-m；
∴当m=0时，f（x）=-2lnx，在（0，e]为减函数，由题意知，f（x）在（0，e]不是单调函数；故m=0不合题意；
当m≠0时，f′（x）=

m(x- 2 m )

x

，由于f（x）在（0，e]上不单调，所以0＜

2

m

＜e，即m＞

2

e

；①
此时f（x）在（0，

2

m

）递减，在（

2

m

，e]递增；
∴f（e）≥1，即me-2-m≥1，解得m≥

3

e-1

；②
所以由①②，得m≥

3

e-1

；
∵1∈（0，e]，∴f（

2

m

）≤f（1）=0满足条件．
下证存在t∈（0，

2

m

]使得f（t）≥1；
取t=e^-m，先证e-m＜

2

m

，即证2e^m-m＞0；③
设w（x）=2e^x-x，则w′（x）=2e^x-1＞0在[

3

e-1

，+∞）时恒成立；
∴w（x）在[

3

e-1

，+∞）上递增，∴w（x）≥w(

3

e-1

)＞0，所以③成立；
再证f（e^-m）≥1；
∵f(e-m)=me-m+m＞m≥

3

e-1

＞1，∴m≥

3

e-1

时，命题成立．
所以m的取值范围是：[

3

e-1

，+∞）．

点评：本题用到的知识点有：1．极值的定义．
2．用倒数求函数单调区间，判断单调性的方法．
3．单调函数定义的运用．
4．会对式子做适当变形，从而解决问题．