Question

等差数列{a_n}的公差为d，前n项和为T_n，设C_n=a_n²-a_n+1²
（1）判断数列{C_n}是否为等差数列并说明理由；
（2）若a₁+a₃+a₅+…a₂₅=130，a₂+a₄+a₆+…+a₂₆=143-13k（k是常数），试写出数列{C_n}的通项公式；
（3）在（2）的条件下，若数列{C_n}的前n项和S_n，问是否存在实数k，使得S_n当且仅当n=12时取得最大值？若存在，求出k的取值范围；若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：等差数列的性质

专题：计算题,等差数列与等比数列

分析：（1）设{a_n}的公差为d，则c_n+1-c_n=（a_n+1²-a_n+2²）-（a_n²-a_n+1²）=-2d²，所以数列{c_n}是以-2d²为公差的等差数列；
（2）由a₁+a₃+…+a₂₅=130a₂+a₄+…+a₂₆=143-13k，知13d=13-13k，d=1-k，由此能导出a_n=a₁+（n-1）d=（1-kn+（13k-3）），由此能求出数列{c_n}的通项公式；
（3）因为当且仅当n=12时S_n最大，所以c₁₂＞0，c₁₃＜0，由此能求出k的取值范围．

解答： 解：（1）设{a_n}的公差为d，则c_n+1-c_n=（a_n+1²-a_n+2²）-（a_n²-a_n+1²）
=2a_n+1²-（a_n+1-d）²-（a_n+1+d）²=-2d²
∴数列{c_n}是以-2d²为公差的等差数列；
（2）∵a₁+a₃+…+a₂₅=130a₂+a₄+…+a₂₆=143-13k
∴两式相减：13d=13-13k，
∴d=1-k，
∴13a₁+

13×12

2

×2d=130，
∴a₁=-2+12k，
∴a_n=a₁+（n-1）d=（1-k）n+（13k-3），
∴c_n=a_n²-a_n+1²=（a_n+a_n+1）（a_n-a_n+1）
=26k²-32+6-（2n+1）（1-k²）
=-2（1-k）²•n+25k²-30k+5；
（3）因为当且仅当n=12时S_n最大，
∴有c₁₂＞0，c₁₃＜0，
即

-24(1-k)2+25k-30k+5＞0 -26(1-k)2+25k2-30k+5＜0

，
解得

k＞1或k＜-19 k＞21或k＜1

，即有k＞21或k＜-19．
故存在实数k，使得S_n当且仅当n=12时取得最大值，
k的取值范围是：k＞21或k＜-19．

点评：本题考查数列的性质和应用，解题时要注意公式的合理运用．