Question

8．已知四面体ABCD，平面ABD⊥平面ABC，AB=5，BC=3，AC=4，DC与平面ABC所成角为$\frac{π}{4}$，则四面体ABCD的体积的最小值为（　　）

• A． $\frac{12}{5}$
• B． $\frac{24}{5}$
• C． $\frac{8}{5}$
• D． 2

Answer 1

分析 设DE⊥AB，则DE⊥平面ABC，可得∠DCE是DC与平面ABC所成角，为$\frac{π}{4}$，从而DE=CE，四面体ABCD的体积最小时，DE最小，即CE最小，此时CE⊥AB，求出CE，即可求出四面体ABCD的体积的最小值．

解答 解：设DE⊥AB，则DE⊥平面ABC，
∴∠DCE是DC与平面ABC所成角，为$\frac{π}{4}$，
∴DE=CE，
四面体ABCD的体积最小时，DE最小，即CE最小，此时CE⊥AB．
∵AB=5，BC=3，AC=4，
∴BC²+AC²=AB²，
∴AC⊥BC，
∴由等面积可得CE=$\frac{12}{5}$，
∴四面体ABCD的体积的最小值为$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×3×4×\frac{12}{5}$=$\frac{24}{5}$．
故选：B．

点评 本题考查四面体ABCD的体积的最小值，考查线面角，考查平面与平面垂直的性质，属于中档题．