Question

20．已知数列{a_n}的前n项和s_n满足S_n=2n²-13n（n∈N^*）．
（1）求通项公式a_n；
（2）令c_n=$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$，求数列{c_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （1）当n=1时，a₁=S₁=-11，当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1，由此求出通项公式a_n；
（2）求得c_n=$（\frac{1}{2}）^{n}$•（4n-15），利用错位相减法求出数列{c_n}的前n项和T_n．

解答 解：（1）①当n=1时，a₁=S₁=-11，
②当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=2n²-13n-[2（n-1）²-13（n-1）]=4n-15，
n=1时，也适合上式．
∴a_n=4n-15．
（2）c_n=$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$=$\frac{4n-15}{{2}^{n}}$=$（\frac{1}{2}）^{n}$•（4n-15），
∴T_n=$（\frac{1}{2}）^{1}•（4-15）$+$（\frac{1}{2}）^{2}•（4×2-15）$+$（\frac{1}{2}）^{3}•（4×3-15）$+…+$（\frac{1}{2}）^{n}$•（4n-15），①
$\frac{1}{2}{T}_{n}$=$（\frac{1}{2}）^{2}•（4-15）$+$（\frac{1}{2}）^{3}•（4×2-15）$+…+$（\frac{1}{2}）^{n}•[4（n-1）-15]$+$（\frac{1}{2}）^{n+1}•（4n-15）$②
①-②，得：$\frac{1}{2}$T_n=-$\frac{11}{2}$+4（$\frac{1}{4}$+$\frac{1}{8}$+…+$\frac{1}{{2}^{n}}$）-（4n-15）•（$\frac{1}{2}$）ⁿ⁺¹
=-$\frac{11}{2}$+4•$\frac{\frac{1}{4}（1-\frac{1}{{2}^{n-1}}）}{1-\frac{1}{2}}$-（4n-15）•（$\frac{1}{2}$）ⁿ⁺¹
=-$\frac{7}{2}$-$（\frac{1}{2}）^{n-2}-（\frac{1}{2}）^{n+1}（4n-15）$，
∴T_n=-7-$（\frac{1}{2}）^{n}（4n-7）$．

点评 本题考查数列的通项公式和前n项和的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意错位相减法的合理运用．