Question

1．已知数列{a_n}中，a₁=2，前n项和为S_n，对于任意n∈N^*，且n≥2，3S_n-4，a_n，2-$\frac{3}{2}$S_n-1总成等差数列．
（1）求数列{a_n}的通项公式a_n；
（2）若数列{b_n}满足b_n=3S_n，求数列{b_n}的前n项和列T_n．

Answer 1

分析 （1）n≥2，3S_n-4，a_n，2-$\frac{3}{2}$S_n-1总成等差数列．可得2a_n=3S_n-4+2-$\frac{3}{2}$S_n-1，化为：4a_n=6S_n-3S_n-1-4．再利用递推关系与等比数列的通项公式即可得出．
（2）利用等比数列的通项公式及其前n项和公式即可得出．

解答 解：（1）∵n≥2，3S_n-4，a_n，2-$\frac{3}{2}$S_n-1总成等差数列．
∴2a_n=3S_n-4+2-$\frac{3}{2}$S_n-1，
化为：4a_n=6S_n-3S_n-1-4．
当n=2时，4a₂=6（2+a₂）-3×2-4，解得a₂=-1．
又4（S_n-S_n-1）=6S_n-3S_n-1-4，
化为：2S_n+S_n-1=4，
∴2S_n+1+S_n=4，
可得：2a_n+1+a_n=0，
∴${a}_{n+1}=-\frac{1}{2}{a}_{n}$，
又${a}_{2}=-\frac{1}{2}{a}_{1}$，
∴数列{a_n}是等比数列，首项为2，公比为-$\frac{1}{2}$．
∴a_n=2×$（-\frac{1}{2}）^{n-1}$=（-1）^n-1•2^2-n．
（2）由（1）可得：S_n=$\frac{2[1-（-\frac{1}{2}）^{n}]}{1-（-\frac{1}{2}）}$=$\frac{4}{3}$$[1-（-\frac{1}{2}）^{n}]$．
数列{b_n}满足b_n=3S_n=4$[1-（-\frac{1}{2}）^{n}]$=4-4×$（-\frac{1}{2}）^{n}$．
∴数列{b_n}的前n项和列T_n=4n-$\frac{-2[1-（-\frac{1}{2}）^{n}]}{1-（-\frac{1}{2}）}$
=4n+$\frac{4}{3}$$[1-（-\frac{1}{2}）^{n}]$．

点评 本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式、递推关系的应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．