题目内容
14．若f（x）=$\frac{a（{2}^{x}+1）-2}{{2}^{x}+1}$是奇函数，求：（1）a的值；
（2）函数f（x）的值域；
（3）判断并证明f（x）单调性．
分析 （1）根据f（0）=0列方程解出a；（2）利用不等式的性质求出值域；（3）利用导数与函数单调性的关系判断并证明．
解答 解：（1）∵f（x）=$\frac{a（{2}^{x}+1）-2}{{2}^{x}+1}$是奇函数，∴f（0）=0，即$\frac{2a-2}{2}$=0，解得a=1．
（2）f（x）=1-$\frac{2}{{2}^{x}+1}$，∵2x＞0，∴0＜$\frac{2}{{2}^{x}+1}$＜2，∴-1＜1-$\frac{2}{{2}^{x}+1}$＜1．∴f（x）的值域是（-1，1）．
（3）f′（x）=$\frac{2ln2•{2}^{x}}{（{2}^{x}+1）^{2}}$，∵（2x+1）2＞0，2x＞0，ln2＞0，∴f′（x）＞0，∴f（x）是增函数．
点评 本题考查了函数奇偶性的性质，函数的值域，函数单调性的判断与证明，属于中档题．
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4．复数z=$\sqrt{|cosθ|}$+$\sqrt{|sinθ）}$i，则关于函数f（θ）=z•$\overrightarrow{z}$的性质，下列说法正确的是（ ）
| A． | 最小正周期为$\frac{π}{2}$，值域为[0，$\sqrt{2}$] | B． | 最小正周期为$\frac{π}{2}$，值域为[1，$\sqrt{2}$] | ||
| C． | 最小正周期为π，值域为[1，$\sqrt{2}$] | D． | 最小正周期为π，值域为[0，$\sqrt{2}$] |