Question

1．如图所示的三角形数阵教“牛顿调和三角形”，它们是由整数的倒数组成的，第n行有n个数且两端的数均为$\frac{1}{n}（{n≥2}）$，每个数是它下一行左右相邻两数的和，如图

则（1）第6行第2个数（从左到右）为$\frac{1}{30}$；
（2）第n行第3个数（从左到右）为$\frac{1}{n（n-1）（n-2）}$．

Answer 1

分析 根据“牛顿调和三角形”的特征，每个数是它下一个行左右相邻两数的和，得出将杨晖三角形中的每一个数C_n^r都换成分数$\frac{1}{{（{n+1}）C_n^r}}$，就得到一个莱布尼兹三角形，从而可求出第n（n≥3）行第3个数字，第6行第2个数

解答 解：（1）第六行第一个数是$\frac{1}{6}$，第二个数设为a_（6，2），
那么$\frac{1}{6}+{a_{（{6，2}）}}=\frac{1}{5}$，所以${a_{（{6，2}）}}=\frac{1}{5}-\frac{1}{6}=\frac{1}{30}$，
（2）将杨辉三角形中的每一个数$C_n^r$都换成分数$\frac{1}{{（{n+1}）C_n^r}}$，
就得到一个如图所示的分数三角形，
因为杨辉三角形中的第n（n≥3）行第3个数字是$C_{n-1}^2$，
那么如图三角形数的第n（n≥3）行第3个数字是$\frac{1}{{nC_{n-1}^2}}=\frac{2}{{n（{n-1}）（{n-2}）}}$，
故答案为：$\frac{1}{30}，\frac{2}{n（n-1）（n-2）}$．

点评 本题考查了学生的归纳推理能力，属于中档题型，学生在课堂上学习过杨辉三角，这个三角形数阵与杨辉三角有关联，所以要熟悉杨辉三角与二项式系数的关系，并且有很好的观察能力，将杨辉三角形中的每一个数$C_n^r$都换成分数$\frac{1}{{（{n+1}）C_n^r}}$，就得到一个如图所示的分数三角形，并且在转化的时候，组合数的上标和下标不要弄错，仔细解答．