Question

11．有一隧道内设为双向两车道公路（道路一侧只能行驶一辆车），其界面由一长方形和一条圆弧组成，如图所示，隧道总宽度为8米，总高度为6米，为保证安全，要求行驶车辆顶部（设为平顶）与隧道顶部在竖直方向上高度之差至少要有0.5米，若行车道总宽度AB为6米（车道AB与隧道两侧墙壁之间各有1米宽的公共设施，禁止行车）
（1）按图中所示的直角坐标系xOy，求隧道上部圆弧所在的圆的标准方程；
（2）计算车辆通过隧道时的限制高度是多少？（精确到0.1米）
参考数据：$\sqrt{6}$=2.45，$\sqrt{7}$=2.65，$\sqrt{43}$=6.56．

Answer 1

分析 （1）由题意设出圆的标准方程，再带点求出未知量即可．
（2）将x的值代入，由此得到限制高度．

解答 解：（1）由题意，设圆的方程为x²+（y-b）²=r²
∵点（4，0），（0，3）在圆上，
∴$\left\{\begin{array}{l}{16+{b}^{2}={r}^{2}}\\{0+（3-b）^{2}={r}^{2}}\end{array}\right.$
∴$\left\{\begin{array}{l}{b=-\frac{7}{6}}\\{{r}^{2}=（\frac{25}{6}）^{2}}\end{array}\right.$
故所求方程为：x²+（y+$\frac{7}{6}$）²=（$\frac{25}{6}$）²；
（2）由（1）把x=3带入方程得，9+（y+$\frac{7}{6}$）²=（$\frac{25}{6}$）²
∴y=$\frac{\sqrt{43}×\sqrt{7}}{6}$≈1.73
因此，限制高度为：3+1.73-0.5=4.2（米）
答：限制高度应为4.2米．

点评 本题考察数形结合的思想，以及待定系数法解决问题，假设出标准方程再求未知量．