Question

10．若二次函数y=x²-2x+2与y=-x²+ax+b（a＞0，b＞0）在它们的一个交点处的切线互相垂直，则ab的最大值为（　　）

• A． $\frac{5}{2}$
• B． $\frac{5}{4}$
• C． $\frac{25}{8}$
• D． $\frac{25}{16}$

Answer 1

分析 先对两个二次函数进行求导，然后设交点坐标，根据它们在一个交点处的切线相互垂直可得到a+b=$\frac{5}{2}$，再由基本不等式可求得最大值．

解答 解：∵y=x²-2x+2，∴y'=2x-2，
∵y=-x²+ax+b，∴y'=-2x+a，
设交点为（x₀，y₀），
∵它们在一个交点处切线互相垂直，
∴（2x₀-2）（-2x₀+a）=-1，即4x₀²-（2a+4）x₀+2a-1=0，①
由交点分别代入二次函数式，整理得，
2x₀²-（2+a）x₀+2-b=0，即4x₀²-（4+2a）x₀+4-2b=0，②
由①②整理得 2a-1-4+2b=0，即a+b=$\frac{5}{2}$，（a＞0，b＞0）
∴ab≤$（\frac{a+b}{2}）^{2}$=$\frac{25}{16}$，
∴ab的最大值为$\frac{25}{16}$．
故选：D．

点评 本题主要考查基本不等式的应用，利用导数的几何意义是解决本题的关键，一定要注意用基本不等式的条件“一正、二定、三相等”．综合性较强，运算量较大．